第四章  圆周运动、万有引力

一、        知识要点

（一）高考内容及要求

内        容

要求

说   明

   1.曲线运动中质点的速度沿轨道的切线方向，且必有加速度。

   2.匀速率圆周运动，线速度和角速度。圆周运动的向心加速度a=v2/r 。

   3.万有引力定律。重力是物体在地球表面附近受到的地球对它的引力。重心。

   4.圆周运动中的向心力。

   5.宇宙速度，人造地球卫星。万有引力定律的应用。

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  1.不要求推导向心加速度的公式a=v2/r。

  2.有关向心力的计算，只限于向心力是由一条直线上的力的合成情况。

（二）主要概念与方法

    匀速圆周运动是一种变加速运动，主要内容是牛顿第二定律在圆周运动中的运用。

    物体作圆周运动的条件是必须受到向心力的作用，F=ma，向心加速度只改变线速度的方向。向心力是物体所受到的合外力在指向圆心方向上的分量。只有匀速率圆周运动，合力才全部提供向心力。要注意的是：⑴向心力不是第四种力，它是以作用效果来命名的；⑵在圆周运动中，不能有“离心力”这种含糊不清的概念和说法。

    对于描述圆周运动的物理量，要理解、搞清它们之间的关系：

 而 只是一个计算公式。

    圆周运动的动力学问题的求解中，正确地确定圆心位置是第一步，受力分析后建立的直角坐标，是沿半径方向和垂直半径方向，然后对各个力进行正交分解，根据运动状态列出方程。

    万有引力定律的应用是匀速圆周运动的一种特例，这部分内容涉及的规律及公式有：

    ⑴万有引力等于重力，即 。在地面附近， m/s2。  

    ⑵万有引力等于向心力，即 ，对同步卫星， =60×60×24s，而r为定值。

万有引力定律应用的问题，要能熟练地进行比例运算。

 

二、        例题选解

【例】轻质弹簧长为L，劲度系数为k，在弹簧的一端系一质量为m的小球，另一端套在o轴上，小球绕o轴在光滑水平面上作匀速圆周运动，周期为T。则小球运动的线速度？

【解】

由虎克定律  ，    运动圆半径    

由向心力及圆运动规律               

得线速度            .

    【例】一质量为m的汽车匀速率驶过曲率半径为R的圆弧型桥面，已知桥面能承受的最大压力为P，为使汽车能安全地沿路面驶过该桥，则汽车行驶的速度大小应在什么范围？

【解】                                     N

对车，最小速度v1行驶，桥面                     v

压力最大，                                    

    由  ， N 1= P           R       mg                 

 得      .

     车以最大速度v2行驶，重力恰好提供向心力，桥面支持力为零，

     由   ， N2 = 0       得    .

     故汽车安全行驶的速度范围为：  v1 ＜ v ＜ v2   。

 

   【例】用长为L=2m的细绳栓一个质量m=0.1Kg小球，使它在距地面h=1.6m高处的水平面做匀速圆周运动，绳与竖直线夹角为θ=30°，细绳在某一时刻突然被拉断，物体沿水平方向飞出后，落地点到做圆周运动圆心的水平距离L=3m。求：该小球做圆周运动时的线速度和绳的拉力大小？

   【解】

   小球落地点到圆心的水平距离A，              θ

    有     ，              L

    由平抛运动     

    得线速度                                h

    m/s

    由向心力               R     A                           

    得绳拉力   = N .      S

  .                         

                                                 

   【例】由于行星自转，物体在赤道上的重量比在两极的重量要轻，那么在行星两极离地面多高的地方，物体的重量跟在赤道上重量相同？行星的球半径是R，行星的自转周期为T，行星的平均密度为ρ。

【解】

 在两极h高处的重量（重力）即为万有引力，

即      ⑴

 在赤道上的重量（重力），由于地球自转，将小于引力，

由 ，→    ⑵

 又    ⑶ ，  使P1 = P2    ⑷

 由⑴⑵⑶⑷，可解得高度      。