第六章   功 和 能

一、    知识要点

㈠ 高考内容及求要

㈡ 主要概念与方法

本章主要研究做功和能量变化的关系，要搞清以下几类功能关系：

    ⑴ 重力功等于重力势能增量的负值。

  ⑵ 弹力功等于弹性势能增量的负值。

  ⑶ 合外力的功等于动能的增量。

  ⑷ 重力、弹（簧）力以外的力的功等于机械能的增量。

    作为一个重要而有用的推论：相互作用力和相对位移的乘积等于系统机械能增量的值。

功和能都是标量。功的计算中的位移是指受力质点的位移。势能的正负及数  值取决于零势面的选取，重要的是势能的改变。

本章的重点是：动能定律及其运用；机械能守恒定律及其运用。

力作用在物体上在空间上的积累效应表现为mv ²／2的变化，公式表示为Fs = mv₂²／2－mv₁²／2，这就是动能定律。运用时采用“外力功的代数和等于动能的增量”的表述比较方便。

只有重力、弹（簧）力做功，动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变，这个结论称之为机械能守恒定律。应注意“做功”和“转化”是“守恒”的基本前提，机械能守恒的对象应是物体、地球、弹簧组成的系统。

在运用动能定理、机械能守恒定律解决问题时，选取多个运动过程或整个物体组系统一起来加以研究，往往是简明而有效的。

二、例题选解

   【例】轻质杆OA长L，一端可绕O点无摩擦转动，另一端及中点分别固定着质量m小球。现将轻杆拉至水平静止开始释放，使其在竖直平面内下摆，如图所示，则摆至最低点时，O处受到的拉力为多少？

   【解】对两小球及轻杆系统，摆动过程只有重力做功，系统机械能守恒。以最低点为重力零势面，有：          O        B        A

   2mgL = 0.5mgL + mv_A² ／2 + mv_B²／2  ⑴             m       m

   在最低处，由圆运动规律，有：

   v_A=ωL，v_B=ωL／2      ⑵                   L

   T_BA－  mg = mv_A²／L      ⑶             v

   T _OB－T_BA－mg = mv_B²／0.5L   ⑷        

   由⑴⑵⑶⑷得   T _OB =                         图

   【例】质量为500吨的机车以恒定功率从静止开始启动，经过5分钟行驶了2.25千米，速度达到最大值54千米/小时，求该机车的功率？若该机车从静止开始，保持以0.1米/秒²的加速度作匀加速运动，则这一过程能维持多长时间？

   【解】

    由动能定理，有      Pt－f s=mv²／2－0.    ⑴

    又最大速度时，有    f = F =P／v_m                 ⑵

由⑴⑵两式得        P = mv_m³／2（v_mt－s）

= 500×10³×15²／2（15×5×60－2.25×10³）

= 375000瓦特

匀加速阶段，由牛顿第二定律，有 

    F－f = ma    ⑶    而  a = v_m'－0／t    ⑷

又有      F = P／v_m' 、     f = P／v_m            ⑸

由⑶⑷⑸得     t = P v_m／a（v _mma + P）

= 375×10³ ×15／0.1×（15×500×10³ ×0.1+375×10³ ）

≈50秒

   【例】如图所示，质量分别为m₁和m₂的A、B两物体用轻弹簧相连，放在光滑水平面上。一质量为m的弹丸以v的速度击中m₁，则在以后的运动过程中，弹簧的弹性势能的最大值E为多少？

   【解】最后的运动状态是，整个系统的质心作匀速直线运动，而两物体分别相对于质心作简谐振动。弹性势能最大的时候，弹簧的形变量最大，此时两物体具有共同速度。

                                               u

对m、m₁，由动量守恒，有   mv=（m+m₁）v₁  ⑴

对m、m₁、m₂及弹簧系统，

动量守恒，有  （m+m₁）v₁=（m +m ₁+m₂）u   ⑵

机械能守恒，有（m+m₁）v₁²／2 =（m+m ₁+m₂）u²／2 +E   ⑶

由⑴⑵⑶式，得 E = m ²v ²／2（m+m₁ ）－m ²v ²／2（m+m ₁+m₂）.